Оригами — математика в складках

Nov 30, 2023

7 января 2015 г.

Томас Халл, «Разговор»

Оригами — древнее японское искусство складывания бумаги. Из одного неразрезанного квадрата бумаги в руках мастера оригами можно сложить птицу, лягушку, парусник или японского жука-самурая в шлеме. Оригами может быть чрезвычайно сложным и замысловатым.

За последние 30 лет искусство оригами пережило ренессанс, при этом создавались новые конструкции с постоянно возрастающим уровнем сложности. Это не совпадение, что рост сложности оригами произошел в то же время, когда ученые, математики и сами художники-оригами открывали все больше и больше математических правил, управляющих тем, как происходит складывание бумаги.

Действительно, если вы возьмете модель оригами, например птицы, и аккуратно развернете ее, вы увидите узор складок, которые служат основой для модели. Этот узор складок содержит секрет того, как бумага может складываться в птицу, и этот секрет — математика. Теоретически мы могли бы использовать этот образец сгиба, чтобы точно определить, как бумага должна складываться и какую форму она примет – если, конечно, мы поняли все секретные правила складывания бумаги.

По сути, математика направлена ​​на понимание правил и закономерностей Вселенной, будь то закономерности в числах, на фондовом рынке или в природе. В случае с оригами нам нужно посмотреть на геометрию рисунка складок, где пересекаются линии, какие углы они образуют и в каком направлении складки складываются: это долинные складки или горные складки?

Большинство традиционных моделей оригами складываются ровно, то есть вы можете вдавить модель в книгу, не помяв ее. Оказывается, узоры складок плоских моделей оригами обладают некоторыми особыми свойствами. Одна из них называется теоремой Маекавы: в каждой вершине, где пересекаются складки в плоском узоре складок оригами, разница между количеством складок в форме горы и долины всегда равна двум. Таким образом, в вершине может быть, например, 5 гор и 3 долины, но никогда — 6 гор и 2 долины.

В 1970-х годах японский астрофизик Корё Миура изобрел свою складную карту Миура, также известную как Миура-ори. Это пример мозаики оригами, когда одна форма повторяется снова и снова, без пропусков, по всей поверхности. В этом случае узор сгиба представляет собой мозаику из параллелограммов, расположенных таким образом, что линии мозаики также подчиняются правилам плоско сложенного оригами. Доктор Миура выбрал горы и долины своего узора складок так, чтобы модель очень легко открывалась и закрывалась.

Этот рисунок складок является очень хорошей альтернативой складыванию карты, поскольку он легко открывается и закрывается. Но доктор Миура использовал эту конструкцию как способ вывести большие солнечные панели в космическое пространство. Думайте о каждом параллелограмме как о солнечном элементе, все из которых затем соединены шарнирами. Затем массив можно сложить в небольшой пакет и разместить на космическом спутнике перед запуском на ракете. Оказавшись в космосе, его можно было открыть с помощью простого расширительного стержня без помощи человеческих рук.

Сгиб карты Миуры вдохновил многих исследователей исследовать, как он работает, его свойства и как его можно использовать. Например, я работал с командой, в которую входили исследователи из Массачусетского университета в Амхерсте и Корнелльского университета, над изучением сгиба карты Миуры как механического устройства; какая сила требуется, чтобы сжать складку и насколько она пружинит при отпускании? В журнале Science мы сообщили, как мы можем изменить это поведение, внеся дефекты в сгиб карты Миуры, скажем, перевернув некоторые вершины в другую сторону. Пример показан ниже.

Наша группа также занимается изучением самостоятельного складывания. Мы создали материалы, которые складываются сами по себе, что заинтересовало и другие группы. Группа Райана Хейворда из Национального центра исследований полимеров Конте разработала способ заставить микроскопические листы геля набухать вдоль линий сгиба при нагревании. Их методами можно сделать микроскопический кран: