Исследователи обнаружили единственную форму, которая апериодически закрывает плоскость без отражения

Sep 10, 2023

5 июля 2023 г.

Эта статья была проверена в соответствии с редакционным процессом и политикой Science X. Редакторы выделили следующие атрибуты, гарантируя при этом достоверность контента:

проверенный фактами

надежный источник

корректура

Джо Петрик, Университет Ватерлоо

Недавно международная группа из четырех человек, в которую входит профессор Школы компьютерных наук Черитона доктор Крейг Каплан, обнаружила единственную форму, которая образует плитку плоскости — бесконечную двумерную поверхность — в виде узора, который невозможно заставить повториться.

Это открытие заворожило математиков, энтузиастов плитки и публику.

Форма 13-гранного многоугольника, которую они назвали «шляпой», известна математикам как апериодический монотиль или «эйнштейн», немецкие слова, означающие «один камень».

Но последнее открытие команды снова подняло планку. Они нашли еще одну форму, родственную первой, отвечающую еще более строгому определению. Названная «призраком», новая форма выкладывает плоскость в узор, который никогда не повторяется без использования зеркальных изображений формы. По этой причине его также называют «вампиром Эйнштейном» — фигурой, которая апериодически выкладывается плиткой, не требуя отражения.

«Наша первая статья решила проблему Эйнштейна, но поскольку форма требовала отражения, чтобы апериодически располагаться на плитке, люди подняли законный вопрос: существует ли форма, которая может делать то, что делает шляпа, но без отражения», — объясняет Каплан. «Нам повезло, что мы нашли форму, которая не только решает эту подзадачу, но и решила ее вскоре после выхода первой статьи».

Для математиков шляпа и ее зеркальное отражение представляют собой единую форму, но в физическом мире левосторонние и правосторонние формы могут вести себя по-разному. Например, нельзя носить праворукую перчатку на левой руке.

«Если вы периодически облицовываете пол большой ванной комнаты плиткой в ​​форме шляпы, глазурованной с одной стороны, вам потребуются шляпы и зеркальные изображения шляп», — говорит Каплан.

Но не эта придирка мотивировала недавнее открытие.

Открытие вампира Эйнштейна началось с размышлений Дэвида Смита, бывшего техника-печатника и, как он себя называет, любителя форм из Йоркшира, Англия, чье любопытство несколькими месяцами ранее привело к первоначальному открытию Эйнштейна.

«Дэйв написал нам по электронной почте через пару дней после того, как наша газета появилась в Интернете, и сказал, что он играл с похожей фигурой, которая, похоже, вела себя странно», — говорит Каплан. «Ёсиаки Араки, японский математик и известный художник, чьи работы выполнены в духе MC Эшера, опубликовал фотографии Tile(1,1), которые заинтересовали Дэйва, чтобы рассмотреть его дальше».

Ёсиаки задал интригующий вопрос в Твиттере: «Апериодическая черепашья тесселяция, основанная на новом апериодическом монотиле Tile(1, 1.1). Говорят, что в тайлинге отражается около 12,7% тайлов. Зеленый — пример. Еще один отраженная черепаха скрыта в плитке. Кто такое отражение?»

«Йоши превратил Tile(1,1) в черепах, и на этой картинке немного трудно увидеть другую отраженную черепаху. Но это заинтересовало Дэйва. Что, если мы создадим плитку такой формы, но без отражений? Когда он это сделал, Дэйв обнаружил, что он может выстраивать мозаику постепенно наружу по шаблону, который не останавливается и не повторяется».

Но к этой форме пришла другая придирка. Как объясняет Каплан, если вы используете отражения Tile(1,1), шаблон повторяется. Другими словами, это периодично. Но если Tile(1,1) модифицировать, заменив его прямые края кривыми, он станет вампиром Эйнштейном — единой фигурой, которая без отражения замостит бесконечную плоскость узором, который невозможно заставить повториться.